スマートフォン向けゲームに欠かせない存在となっている「ガチャ」。お目当てのキャラやアイテムを引き当てたときの嬉しさは格別だし，結構な額のリアルマネーを使ったあげく，ハズレばかりだったときの悔しさもまたかなりのものだ。
すべては運にかかっているので，プレイヤーが頼りにできるデータといえば，公開されている出現確率ぐらいだろう。以前はその確率が公開されていないゲームが多かったが，最近は業界として確率表示を進める動きが強まっており，人気タイトルの「グランブルーファンタジー」でも，本日（2016年3月10日）から装備品個別の出現確率が表記されるようになる。
だが，確率が明らかになったところで，それを正しく理解できなければ意味がない。よくある間違いが，「出現確率1％なら，100回ガチャを引けばほぼ確実に出るだろう」という思い込みだ。実際のところ，ガチャを100回引いて出現確率1％のものが当たる確率は約63％でしかない。表現を変えれば，100人のプレイヤーがそれぞれ100回引くと，63人は当たるが，残り37人は100回全部ハズレ，という感じだ。
一見するととても不思議に思えるかもしれないが，この“カラクリ”を理解していないと，確率を多めに見積もって予算をオーバーしてしまったり，それほど運が悪いわけでもないのに「なぜこれだけ引いても出ない！」とストレスを溜めることになってしまう。本稿では，できるだけ分かりやすく確率の話を解説するので，じっくり読み進めてほしい。
■まずは現実のカプセルトイとスマホガチャの違いを知る
「出現確率1％のガチャを100回引けば，ほぼ確実に出る」という考えは“間違い”だと書いておいて何だが，実はこの考えが適用できるガチャもある。しかも“ほぼ確実に出る”ではなく“確実に出る”としていい。ただし，それはスマホゲームの中にあるガチャではなく，玩具店などに置かれているカプセルトイの販売機である（便宜上ここではリアルガチャと呼ぶ）。
例えば当たり1個を含むカプセル100個入りのリアルガチャを100回引けば，どんなに運が悪い人でも100回目には必ず当たりが出る，というのは分かってもらえるだろう。例の思い込みをしている人は，リアルガチャとスマホガチャを同じものと捉えてしまっているというわけだ。
では，リアルガチャとスマホガチャの違いとは何だろうか。ここまでの説明でなんとなく想像がついた人もいるかと思うが，それは，1回引いて次を引く前に「引いたものを除外するかどうか」にある。
まずリアルガチャのシステムを説明しよう。総数が100個では多いので，ここでは10個で説明する。10個のうちに当たり（白丸）が1個入っている状態を表してみたのが下の図だ。
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1回目でアタリを引く確率は10個のうち1個なので，当然ながら1/10（10％）になる。残念ながら1回目がハズレだった場合，ハズレが1個出て行ったので，リアルガチャの中は下のような状態だ。
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そして2回目に当たりを引く確率は9個のうち1個，つまり1/9（約11％）となり，1回目よりも上がる。同様にハズレを引き続けていくと，6回目は1/5（20％），9回目には1/2（50％）と上がり続けて，10回目は当たりしか残っていない状態（100％）となるわけだ。
これに対し，スマホガチャの確率は，開発側によって何らかの手が加えられていない限り，常に一定だ。イメージとしては，引いたものを戻してから新たに引く，という感じになるので，リアルガチャの1回目と同じ状態が10回目まで続くことになる。
ここまでの説明で，スマホガチャはリアルガチャと比べて，引く側が相当不利だと感じる人もいるだろうが，そうとも言い切れない。1回目に当たりを引いた後，2回目に引くときの状態を考えてみよう。
リアルガチャ
スマホガチャ
リアルガチャの場合，当たりを引く確率は0％だが，スマホガチャでは1回目に続いて10％となっている。つまり，リアルガチャでは10回引いても当たりは1回しか出ないが，スマホガチャなら10回全部当たりを引く可能性もあるにはあるのだ。
リアルガチャとスマホガチャは一見よく似たものだが，実はかなり異なっている，ということがこれで分かってもらえただろうか。
■1％を100回引いても100％にならないことを検証してみる
さて，ここまでの説明で、スマホゲームで「出現確率1％のガチャを100回まわせば，ほぼ確実に出る」と考えるのは間違い，となんとなく分かっても，本当の確率である「約63％」については「本当にそれしかないの？」と思っている人は多いだろう。
もちろん本稿で確率の計算方法は説明するが，その前に，計算式なしでも“実感”できる身近な例を紹介しておきたい。
最初はコイントスだ。空中にコインを投げ，裏と表のどちらが出るのかを当てるものなので，確率は1/2（50％）。ではこのコイントスを2回行ない，表が1回以上出る確率はどれくらいだろうか。ここまで読んだうえで「確率50％を2回だから100％だ！」と思う人はそういないだろうが，実際の数字を確認するために，コインを2回投げたときの全パターンを書き出してみよう。青く塗られているのが表が出るパターン，グレーは出ないパターンだ。
このように，全4パターンのうち，表が出ないのは裏・裏のときのみ。表が1回以上出る確率は3/4，つまり75％となる。
次はもう少し数を増やし，ジャンケンで考えてみよう。自分が3回勝負でパーを出し続け，1回以上勝てる相手のパターンを出してみる。グー，チョキ，パーのうち，パーが勝てるのはグーだけなので，勝てる確率1/3の勝負を3回やるということだ。
全27パターンのうち，1回以上勝つのは19パターン。確率でいえば約70％となる。
しつこいようだが，もうひとつの例を挙げよう。今度はABCDの選択肢がある4択問題4問で，すべての解答欄にAを入れた場合，0点を逃れる確率だ。1/4を4回ということになる。
数えるのが大変になってきたが，全256パターン中，正解があるのは175パターン。確率でいえば，約68％となる。
さて，気づいた人もいるかもしれないが，この例はすべて「1/nをn回引いた場合」のもので，nが増えるに従い，求められる確率が75％→約70％→約68％」と下がってきている。「1/100ガチャを100回引いた場合」の全パターンを書き出すことはさすがにしないが，約63％になることは分かってもらえるのではないだろうか。
■気になる「約63％」の数字はどうやって求める？
では数式から確率を求める方法を説明しよう。
当たりの確率＝全体-ハズレの確率
となる。もちろん素直に当たりの確率を求める方法もあるのだが，その場合は計算式がかなりややこしくなることから，今回はこの方法を取っている。当然ながら計算結果はどちらの方法でも同じだ。
さて，出現確率1％のガチャを100回すべて外す確率は，1回引いて外れる確率（99％）を100回かければいい。つまり0.99の100乗を計算する。
（0.99）100≒0.366
この数字を全体から引いてみよう。
1-0.366＝0.634
となるので，冒頭の「約63％」が正しい数値であることが証明できた。
■「確率2倍アップ」でどれくらい当たりが出るのか
少し違った条件での計算もしてみよう。
1-（0.98）100＝0.867
となる。約87％とかなり上がってはいるものの，100回まわした人の1割以上が全部ハズレ，という計算だ。
■何回引けばお目当てのキャラが手に入るのか？
ここで，ガチャ回数からの確率ではなく，手に入る人の割合から必要な回数を計算してみよう。当たりの確率を1％とし，50％の人がアタリを引くのに必要なガチャ回数（x）を計算してみると，
ハズレの確率 ＜50％
つまり，
（0.99）x ＜ 0.5
という式になる。このxを求める式は，対数計算という難解なものになるので割愛するが（Windowsに搭載されている「電卓」を使う計算方法を後述する）求められるxの最小値は69。仮に1回300円とすれば，2万700円ほど突っ込んで，やっと半分の人が当たりを引けるという計算になるわけだ。
では当たりの確率を0.3％にして計算してみよう。なぜ0.3％にするかの理由は，いろいろとお察しいただきたいが，この場合，
（0.997）x ＜ 0.5
という式になり，これを満たすxの最小値は231。1回300円とすれば，6万9300円ぶんのガチャを引いて，半分の人が当たるだけということになる。
もう少し現実的な金額での計算もしてみよう。
1-(0.997)16≒1-0.953=0.047
となる。
Windowsの「電卓」で確率を計算する方法
Windowsに標準で搭載されている電卓を使った，ガチャ確率の計算方法を紹介しておこう。
まずは電卓を起動し，上部にある「表示」メニューからか「関数電卓」を選ぶ。
1％のガチャを100回引いた場合の確率を計算する場合は，「1」「-」「0.99」「xy」「100」「=」と入力すればいい。
答えは0.6339...となるはず。パーセント表示にするなら，この値をさらに100倍すればいい。
当たり確率1％のガチャで，50％の人が当たりを引くのに必要なガチャ回数を計算するには，「0.5」「log」「/」「0.99」「log」「=」の順で入力すればよい。
出てくる数字は68.967...となるが，当然ながら実際のガチャでは68.967回引くというわけにはいかないので，回数としては69になる。0.5は当たる人の割合（50％），0.99はガチャを1回引くときのハズレ確率（100％から当たり確率を引く）のことなので，自分が計算したい設定に合わせて計算するといいだろう。
今回はガチャの出現確率を1％や0.3％として計算してみたが，実際には0.3％以下の確率が表示されているゲームもあるようなので，「10万円以上つぎ込んでも目当てのキャラがでない」という話が珍しくないというのも，うなづけるだろう。
この記事を読んで，多くの人は「思ったよりも出ない」と感じたのではないだろうか。熱くなってガチャを引きまくる前に，ちょっと計算して冷静になってみてほしいが，もちろんこれはあくまで確率の話。0.3％を1回で引き当てる幸運な人もいるはずで，それが確率というものの面白さ，そしてガチャの魅力なのかもしれない。
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